例3例2中混合型随机变量X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），其中

　　F1（x）=01x<-1

　　1131-1≤x<0

　　11x≥0，

　　F2（x）=01x<1

　　x-11211≤x<3

　　11x≥3，

　　可以看出，F1（x）是一个离散型随机变量的分布函数，其分布列为

　　X11-110p（xi）11131213而F2（x）是一个服从区间[1，3]上的均匀分布的连续型随机变量的分布函数。

　　4.混合型随机变量的数字特征

　　对于一般的随机变量X，设其分布函数为F（x），若斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞xdF（x）满足绝对收敛，则X的数学期望存在，且EX=∫+∞-∞xdF（x）。

　　对于斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞xdF（x），由实变函数与泛函分析的知识知道，当F（x）为跳跃函数，在xi（i=1，2，…）具有跳跃度pi时，∫+∞-∞xdF（x）=∑1ixipi；当F（x）存在导数F′（x）=p（x）时，∫+∞-∞xdF（x）=∫+∞-∞xp（x）dx。

　　例4计算例2中的混合型随机变量X的数学期望。

　　解：通过例3可知，例2中混合型随机变量X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），其中F1（x）是离散型随机变量X1的分布函数，F2（x）是一个服从区间[1，3]上的均匀分布的连续型随机变量的分布函数，由一般随机变量的数学期望的定义可得

　　EX=∫+∞-∞xdF（x）=318∫+∞-∞xdF1（x）

　　+518∫+∞-∞xdF2（x）

　　=318（-1×113+0×213）+518∫31xd（x-112）

　　=-118+518×112∫31xdx=918。

　　若斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞g（x）dF（x）满足绝对收敛，则随机变量X的函数g（X）的数学期望存在，且E[g（X）]=∫+∞-∞g（x）dF（x）。同样地，当F（x）为跳跃函数，在xi（i=1，2，…）具有跳跃度pi时，∫+∞-∞g（x）dF（x）=∑1ig（xi）pi；当F（x）存在导数F′（x）=p（x）时，∫+∞-∞g（x）dF（x）=∫+∞-∞g（x）p（x）dx。从而可得随机变量X的方差为

　　DX=E（X-EX）2=∫+∞-∞（x-EX）2dF（x）

　　例5计算例2中的混合型随机变量X的方差。

　　解：由X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），则

　　DX=E（X-EX）2=∫+∞-∞（x-EX）2dF（x）

　　=∫+∞-∞（x-918）2dF（x）

　　=318[（-1-918）2×113+（0-918）2×213]

　　+518∫31（x-918）2d（x-112）

　　=4511512+518×112∫31（x-918）2dx=3011192

　　以上关于混合型随机变量的相关知识，可以推广到多维的情况。

　　参考文献

　　[1]李少辅，阎国军，戴宁，李俊芬.概率论.北京：科学出版社，2011年5月第1版：68-69，141-151.

　　[2]李贤平.概率论基础第三版.北京：高等教育出版社，2010年4月第3版：193-199.

　　[3]夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌.实变函数论与泛函分析上册·第二版修订本.北京：高等教育出版社，2010年1月第2版：165-169.

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