摘要：根据人口增长问题与产业集群增长问题的相似性，利用人口增长的Malthus模型和Logistic模型来描述经济生活中的产业集群规模问题，并在Logistic模型的基础上进行了改进，使之更加符合实际情况，最后还讨论了企业进入/退出集群的决策问题。

　　关键词：产业集群；Malthus模型；Logistic模型；模型改进；效用函数

　　中图分类号：F2文献标识码：A文章编号：16723198（2013）22000702

　　1问题提出

　　按照迈克尔·波特的定义：产业集群是一组在地理上靠近的相互联系的公司和关联的机构，它们同处在一个特定的产业领域，由于具有共性和互补性而联系在一起。这与人口问题一样，产业集群也是一个动态的不断演变的复杂系统。在这个复杂的系统中，微观企业之间开展相互合作和竞争，从而推动着产业集群的不断演化。当这些关系处于稳定状态，就能使相关企业在一定时间内空间聚集，并形成一定的产出规模，在外界环境相对稳定的条件下，整个集群能稳定、协调地发展。当外部环境发生变化时，微观企业间的关系就会发生变化，产业集群就会随之演化。由于产业集群类似于人口问题，因而可以用人口增长模型来分析产业集群的规模问题。

　　2模型简介

　　关于人口问题的模型的研究，并不是现在才开始的，早在18世纪末，英国经济学家Malthus在研究了百余年的人口统计资料后建立了第一个人口指数增长模型即Malthus模型。其后经过不断努力，现已有了一些更为精细的数学模型，尤其是人口的预测模型和控制模型为人口政策的制定提供了重要的科学依据。我们这里主要介绍Malthus模型和Logistic模型。

　　2.1Malthus模型

　　设时刻t的人口总数为N（t），人口的净增长率为r，根据Malthus的理论，在人口的自然增长过程中，r为常数，即单位时间内人口增加量与人口的总数成正比。于是得Malthus人口模型：

　　dN1dt=rN

　　N（t0）=N0（1）

　　其解为：N（t）=N0er（t-t0）（2）

　　如果r>0，则（2）式表明人口总数将以指数形式增长。在资源丰富、人口比较稀少时结果和实际的人口统计数据也比较吻合，用Malthus模型进行短期人口预测还是比较准确的。但该模型用于长期预测是不合适的，因为当r>0，t→+∞时N（t）→+∞，这一结论不符合人口实际情况。主要因为当人口数量达到一定程度时，由于受到土地、资源的限制，会出现食物短缺、资源紧张、环境恶化并伴随战争和传染病的威胁。这些因素对人口增长产生了阻滞作用，此时人口增长率会随人口增加而减小，因此Malthus模型中人口净增长率为常数的假设必须进行一定的修改。

　　2.2Logistic模型

　　为了克服Malthus模型假设的缺陷，荷兰生物学家Verhulst引入常数Nm表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，并假定净相对增长率为r（1-N1Nm），即净相对增长率随N增加而减小，此时r称为内在增长率，即不受资源和环境限制的人口增长率。当N（t）→Nm时，净相对增长率趋于0，于是得到了人口的阻滞增长模型——Logistic模型：

　　dN1dt=rN（1-N1Nm）

　　N（t0）=N0（3）

　　其解为：N（t）=Nm11+（Nm1N0-1）e-r（t-t0）（4）

　　从以上结果可以看出：

　　（1）当t→+∞时N→Nm，即无论人口初值如何，人口总数趋向于极限值Nm。

　　（2）当00，dN1dt为增函数；当d2N1dt2<0，dN1dt为减函数；当N=Nm12，dN1dt达到最大值，即此时人口增长最快。

　　Malthus模型和Logistic模型不仅适用于人口问题，在产业集群规模问题上也是适用的。

　　3模型建立

　　（1）在产业集群刚形成时，产业集群中的企业增长情况与人口增长模型中的Malthus模型是很类似的，都是按照指数快速增长，因而可以利用Malthus模型来研究初始时刻的产业集群的规模问题。

　　设初始时刻t0=0时产业园内企业数目为N0，企业的净增长率r为常数，则产业园新成立短时间内企业规模：

　　dN1dt=rN

　　N（t0）=N0（5）

　　其解为：N（t）=N0ert（6）

　　（2）在受到外界因素影响时，产业集群中的企业增长情况与人口增长模型中的Logistic模型也是很类似的，企业集群受到环境、资源等影响也不可能无限增长，因而也可以用阻滞增长模型来研究产业集群的规模问题。

　　设常数Nm表示产业园受到环境、资源等因素的影响所能承受的最大企业数，并假定净相对增长率为r（1-N1Nm），则产业园长时间内企业规模：

　　dN1dt=rN（1-N1Nm）

　　N（t0）=N0（7）

　　其解为：N（t）=Nm11+（Nm1N0-1）e-r（t-t0）（8）

　　（3）以上两个模型都是在自然状态下建立的数学模型，未考虑人为因素的影响。而在产业园区内都有相应的政策等因素会影响产业集群的规模，所以可以在模型（7）上的基础上适当添加参量来体现认为因素的影响，使之更符合实际。改进模型如下：

　　dN1dt=rN[1-（N1Nm）α]·β

　　N（t0）=N0（9）

　　其中，参量α表示自然资源与企业数目之间的非线性关系，即当α>1时，政府对产业园的科学管理使资源环境的利用率提高；当0<α<1时，政府对产业园的不科学管理将会造成浪费资源环境。参量β体现了产业园环境的持续改善或恶化对产业集群规模的影响，显然当β<0表示集群规模在衰退。

　　模型（9）的解为：

　　N（t）=Nm1[1+[（Nm1N0）α-1]·e-αβr（t-t0）]11α（10）

　　从上述Logistic模型我们不难发现，集群资源的容量实际上是有限的，对于资源需求超出集群资源余量的企业将不许进入集群，只有等其他企业退出后让出一定的集群资源，才有机会进入。也就意味着集群内部企业必须因为所在集群进行一定“资源补偿”，由于企业进入集群的前提是可以获得比不进入集群更大的收益，则集聚企业数量为N的情形下，设集群集聚效应的平均收益为：

　　AR=α0+n0nα1（11）

　　集群拥挤效应的平均损失为：

　　AC=n0nα2（12）

　　我们称两者之差为集群环境收益/损失，即：

　　AR-AC=α0+n0nα1-nα2，α1，α2≥1（13）

　　这里α0是集聚效应的基础收益，与n无关；n0nα1-nα2表示n0是这一部分收益或损失的转折点，若α1≥α2，n0即为集群聚集效应收益大于集群拥挤效应损失的转折点。设企业n实际所获得的集群聚集效应收益以及集群拥挤效应损失合计为：

　　Niα0+n01+Ti1n+1nα1-nα2

　　当企业的点度中心度Ti=0时，企业所获得的收益或损失合计为：

　　Niα0+n0nα1-nα2

　　由上述可知，企业n做出是否进入/退出集群决策的效用函数为：

　　Ui=Nia0+Nin0（1+Ti1n+1）（na1-na2）-P0Qn（14）

　　若Ui>0，则企业n选择进入集群；若Ui≤0，则企业n选择退出集群。

　　4结束语

　　本文主要利用人口增长模型讨论了产业集群的规模问题，借用人口增长问题中的Logistic模型来描述经济生活中的产业集群的动态演化过程，给出了企业做出是否进入/退出集群决策的效用函数，研究结论也填补了产业集群规模影响因素研究方面的成果，并对产业集群规划和产业集群政策的制定有一定的指导意义。另一方面，本文只是一个产业集群的规模来考虑，未考虑多个产业集群以及企业的具体经营状况、竞争合作等因素对集群的影响，这方面有待进一步的研究。

　　参考文献

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　　[2]姜启源.数学模型[M].第三版.北京：高等教育出版社，1993：1215.

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　　[4]王坤.天津汽车产业集群稳定性分析[J].天津商业大学学报，2009，（1）：2125.

　　[5]程胜.基于Logistic模型产业集群演化稳定性研究[J].西北农林科技大学学报：社会科学版，2007，（3）：3541.

　　[6]王会，张光明.基于Logistic模型的船舶产业集群稳定性分析[J].造船技术，2007，（5）：58.

　　基金项目：湖北省教育厅人文处项目“湖北创新企业的公司治理理论与实证研究”

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