【摘要】文章阐述了ARMA模型在股价预测中的实证研究。

　　【关键词】股价 股价预测

　　一、时间序列及ARMA模型

　　时间序列：时间序列是由离散的时间指标集构成的随机过程，而揭露这种事件动态数据的动态结构和规律的统计方法就是时间序列分析。时间序列具有严格的先后顺序，所以一般情况下数据之间不相互独立，而具有一定的关系，时间序列分析旨在研究其固有的发展变化规律，进而利用这种规律预测未来的数据。常用的时间序列分析模型包括：AR 模型（ Auto-Regressive Model，自回归模型） 、MA 模型（Moving Average Model，滑动平均模型） 、ARMA 模型（ Auto-Regressive Moving Average Model，自回归滑动平均模型混合模型）。

　　ARMA模型：自回归移动平均过程由自回归过程和移动平均过程组成，由美国统计学家G.E. P. Box和英国统计学家G.M jenkins在1970年提出。ARMA（p，q）的计算公式为：其中{ut}为白噪声序列，p和q为非负整数。当q=0时，ARMA（p，q）模型为AR（p）模型，当p=0时，ARMA（p，q）模型为MA（q）模型。ARMA模型有效的前提是作为研究对象的时间序列具有平稳的性质，这样才能保证该研究对象的统计规律不会随着时间的变化而变化，具体可表现为时间序列的期望、方差和协方差不会随着时间的变化而变化。

　　二、实证分析

　　本文选取苹果公司在2012年4月10日至2013年4月10日的调整后收市价的时间序列进行建模，共选择了251个数据点。

　　平稳性检验：平稳的时间序列的统计特征在各个时间点上保持不变，所以其图形会在水平方向上平稳发展，在垂直方向上有序波动。该时间序列单位根检验结果下表，在5%的显著性水平下，时间序列存在单位根，不平稳。

　　为了消除非平稳的影响，对该时间序列进行二阶差分后形成的新时间序列以0为中心围绕水平轴波动，可初步判断其为平稳序列，新序列的单位根检验如下表，在5%的显著性水平下，新序列通过了单位根检验，为平稳时间序列。

　　模型的识别和估计：使用eviews软件得到新时间序列的自相关图和偏自相关图都具有拖尾特征，可以判定其是混合自回归移动平均过程，由于其自相关函数一阶截尾，偏自相关函数五阶截尾，初步判定其为ARMA（5，1）过程。使用AIC准则和SC准则来进一步确定模型的阶数，其中：AIC准则决定AR过程的阶数p，AIC值越小的AR过程拟合效果越好；SC准则同时决定AR过程的阶数p和MA过程的阶数q，SC值越小的ARMA过程拟合效果越好。对新的时间序列分别进行ARMA（1，1）、ARMA（2，1）、ARMA（3，1）、ARMA（4，1）、ARMA（5，1）五种ARMA过程建模，其AIC值和SC值如下表：

　　其中当p=3，q=1时的ARMA（3，1）模型同时具有最小的AIC值和SC值，模型拟合效果最小，所以使用ARMA（3，1）过程对新时间序列的规律进行研究。拟合结果为：拟合方程R2=0.518007，模型对样本的拟合效果较好，F=64.75177，回归方程显著，DW=1.993839，模型无自相关。

　　残差检验：如果残差不存在残留的有用信息，则其应该是白噪声序列，即均值为0、方差不变的平稳的随机序列，表现为残差自相关函数值在统计上应该不显著并且都落在随机区间内，模型残差的自相关函数值都在虚线范围内，可认为其是白噪声过程，残差不存在有用信息。

　　三、股价预测

　　接下来利用该模型对股票的未来价格进行预测，下图显示了该模型对2013年4月12日至2013年5月10日的股价的预测值与真实价格的对比：

　　利用ARMA（3，1）模型对股票价格的预测在总体上与实际股票价格走向是一致的，在第一周模型的预测值与真实值差距非常小，前半个月模型的预测效果也较好，后半个月模型预测的股价与真实股价差距越来越大。预测股价的波动非常小，实际股价的波动较大，而且方向较为难以预测。

　　模型预测的股票价格随时间逐渐下跌，而实际股价却有明显上涨趋势，部分原因是4月24日苹果公司发布了第二季度财报，虽然其净利润下降18%，但没有超出投资者预期，投资者对苹果公司未来发展仍然看好，并且苹果公司同时公布1000亿美元现金回馈股东的计划，增强了其股票的吸引力。另一方面，4月23日苹果公司股票的市盈率为9.7，远低于标准普尔500成分股的平均水平15，表明其股票被低估，有反弹可能性。

　　预测股价与真实股价的均方根误差为32.02901，平均绝对误差为27.09439，模型预测较为精准，有一定的参考价值。

　　综上所述，ARMA过程对股票价格的变化规律有一定的解释力度，并且能较准确地预测短期股票价格走势，但是长期的股价预测与真实股价有较大差距。

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