如果初值（，）满足条件 （，） = 1

　　则上面给出的解 = 是曲面上以为弧长参数的一条曲线。实际上，如果命= （，）

　　则

　　并且 （0）≡0，所以 ≡0

　　即是曲线 = 的弧长参数。

　　3 曲面上曲率线与测地线的积分算法

　　3.1 曲面上的曲率线求法

　　3.1.1 双曲面的曲率线

　　我们对双曲面 = 进行积分算法求出曲率线

　　= ， = ， = ， = 0， = ， = 0， = 1 + = 1 + ， = = ， = 1 + ， = 0， = 0。

　　曲率线的微分方程为

　　化简得 = 积分得

　　即

　　故所求曲率线为

　　3.1.2 螺旋面的曲率线

　　螺旋面上的曲率线

　　由题可知 = 1， = 0， = + ， = 0，， = 0，

　　曲率线的微分方程为，

　　即 + （ + ） = 0，化简得，积分得即

　　故所求曲率线为

　　3.2 曲面上的测地线求法

　　3.2.1 NURBS曲面上测地线算法

　　曲面上的曲线C可以用参数方程

　　来表示，这里的是曲线参数。弧长的微分形式如下：

　　= + 2 +

　　于是曲面上一条曲线的长度可知，为

　　（1.4）

　　这里、是参数、分别对的偏导。，，是曲面的第一基本量

　　，是曲面对参数、的偏导数。

　　在局部范围内，测地线是连接两点曲线中弧长最短的曲线。寻找一条曲线，构造，，使得（1.4）式中的L最小。这样我们就得到了一条测地线。函数，应该满足

　　（1.5）

　　这里

　　上式中我们选择弧长s作为参数，（1.5）式可由以下一对非线性微分方程的形式表达

　　其中

　　式中是曲面在点（u，v）的单位法向量

　　是曲面方程对，的二次混合偏导，测地线轨迹可用以下四个一次微分方程

　　在过点（，）以及有初切向的初始条件下，通过Rung-Kutta法迭代求出唯一解，给定曲面上一点和方向，通过自适应迭代步长的选择，可自动求解出一条测地线。

　　3.2.2 求圆柱面的测地线

　　解：在圆柱面

　　= + ，测地线的方程量： = 0， = ， =

　　故 = + ，为常数，为积分常数，对应的向量式参数方程量。

　　3.2.3 求球面上的测地线

　　解：对于半径为的球面上的大圆弧，熟知： = ，法曲率 = €？，于是测地曲率 = €？= 0，从而球面上的大圆弧是测地线。

　　参考文献

　　[1] 曲面上曲线的测地挠率的性质[J].河南科学，2013（8）.

　　[2] 张立新.测地线及其应用[J].鞍山师范学院学报，2005（4）.

　　[3] 宋占奎.曲面的曲率线解法数例[J].河北职工大学学报，2002（2）.

　　[4] 王高梅.曲率线的几何性质[J].四川师范大学学报（自然科学版），1988（4）.

　　[5] 邢家省，王拥军.曲面上曲线的测地挠率的计算公式及其应用[J].聊城大学学报（自然科学版），2012（3）.

　　[6] 林梦雷.曲面上曲线的测地挠率公式的一个简单证明[J].漳州师范学院学报（自然科学v版），1999（3）.

　　[7] 郭成苇，栗凤娟.研究空间曲线、曲面的两个基本问题[J].开封教育学院学报，2007（4）.

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