摘要：做简谐运动的物体所受回复力大小存在对称性，简谐运动的物体如果处于与平衡位置对称的两位置时，位移大小相等；回复力大小总是与位移大小成正比，物体在这两个位置时回复力大小相等。运用这一结论对简谐运动中的问题的解决将起到事半功倍、简捷解题的作用。

　　关键词：简谐运动；回复力；对称性

　　做简谐运动的物体，运动过程中各物理量关于平衡位置对称。以弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，加速度、速度大小相等，动能相等。对称性还表现在过程量的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再回到该点所需时间相等；质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用时间相等。同时，做简谐运动的物体回复力大小也存在对称性，若简谐运动的物体处于关于平衡位置对称的两位置时，位移大小相等，因为回复力（F回=-kx ）大小总是与位移大小成正比，所以物体在这两个位置回复力大小相等。依此结论可以得出：简谐运动的物体在两最大位移处其回复力大小皆等于KA（A为振幅）。这一结论若能在具体题目中熟练运用，对简谐运动中受力分析问题的解决将起到事半功倍，简捷解题的作用。

　　首先结合例题谈谈运用这一结论解题的简便性。

　　例题：两块质量分别为m1 、 m2的木板，被一根劲度系数为k的轻弹簧连在一起，并在ml板上加压力F，如图1-1所示。为了使撤去F后，ml跳起时恰好能带起m2板，则所加压力F的最小值为多大？

　　解析一（平时较常见的方法）：当撤去F后，m1板做简谐运动，其平衡位置是未加压力F时m1板的静止位置（设为a），此位置和弹簧处于自然长度时相距为x0=。

　　m1板做简谐运动时的振幅应等于施加压力后弹簧增加的压缩量，即A=x1=，此时m1板的位置设为b。如图1-2所示。撤去F后，ml板跳起，设弹簧相对原长伸长x2时，刚好能提起m2板（m1板正处于位置c）.由kx2=m2g，得x2=，根据ml做简谐运动时的对称性，位置 b、c必在平衡位置a的两侧对称，即x1=x0+x2，得=+，所以F=（m1+m2）g。

　　此方法固然能将问题解决，但由于其过程过于繁琐，学生较难掌握，特别是在考试过程中，由于时间的仓促，加上考试过程中的心理往往比平时紧张，相比平时做作业则更容易出现错误，如把弹簧自然伸长时顶端误为平衡位置，m1板在最高处和最低处时弹簧形变量误认为一样等。结合在教学实践过程中对学生出现问题的反思及本人对这一教学难点的长期思考，我认为若能运用上述“简谐运动的物体在两最大位移处其回复力大小皆等于KA”进行分析，过程将变得简便。下面，运用这一结论对例1进行分析，这其中的妙处不言自明了：

　　解析二（利用回复力大小存在对称性解题）：当撤去F，m1板做简谐运动，在最低点，其回复力大小即为F，在最高点时，由于恰好能带起木板 ，则此时木板的回复力大小为m1g+T（T为弹簧的拉力），且T=m2g，又因为简谐运动的物体在两最大位移处其回复力大小皆等于KA，即F=（m1+m2）g。

　　上述两种分析思路都是正确的。解析一中的方法平时较常见到，它不但要求学生必须对整个物理过程要有详细的认识，而且解题时要非常细心，不然很容易出现错误。本人在平时教学过程中发现， 学生若用此方法解此题，一部分学生虽然能够将物理过程分析出来，然而解题过程出错率极高。若能采用解析二中的方法，巧妙运用“简谐运动的物体在两最大位移处其回复力大小皆等于KA”这一结论，大部分学生感觉较容易接受，并且过程简便，步骤较少，不容易出错。尤其在考试过程中，在真正是“一寸光阴一寸金”的条件下，采用第二种解题方法不仅直接创造了节约解题时间的考试效益，同时所营造的宽松心态也对学生的整场考试都将起到良性的循环效应作用。

　　为比较方法一和方法二在具体运用过程中的得失，我以例1为素材，在所任教班级中抽查了好、中、差各10名学生进行调查，调查结果如下表：

　　以上数据证实了应用方法二不但缩短了解题时间，还大大提高了得分率。

　　其次，结合多年的教学积累及多位同行的教学心得体会，借助例子，浅薄地谈点关于学生如何熟练运用上述结论，更简便地分析作简谐运动的物体的受力问题。

　　类似题一 质量为M的箱子放在水平地面上，箱子的顶端用一根轻质弹簧挂一个质量为m的小球。开始时小球静止于O点，如图2-1所示。现用一个竖直向下的力F向下拉小球到某一位置P，撤去拉力后，小球将在竖直方向上做简谐运动。设小球在振动过程中箱子始终没有离开地面，求小球运动到最高点Q时，地面对箱子的支持力。

　　解析 此题若用胡克定律再结合位移对称性进行求解，过程不免也比较繁琐。我们不妨这样分析：用力F把小球拉到P点时，小球的受力如图2-2所示。撤去力F后，小球将在竖直方向上以O为平衡位置在P、Q间做简谐运动，且在P点回复力的大小为F，方向向上；由对称性可知，当小球运动到Q点时，回复力大小也为F，方向向下。设小球运动到Q点时弹簧对小球的弹力为FQ，取向下为正方向，则F=mg+FQ.在最高点时弹簧对箱子的作用力FQ'=-FQ。再以箱子为研究对象，设地面对箱子的支持力为FN，根据平衡条件：FQ'+Mg-FN=0，所以FN=（M+m）g-F。

　　类似题二 如图3-1所示，质量为M的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物体重量的1. 5倍，则物体对弹簧的最小弹力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？

　　解析 竖直方向的弹簧振子做简谐运动的回复力是弹力和重力的合力。由牛顿第二定律和简谐运动的特点可分析弹簧弹力最大或最小的位置。当木块运动到最低点时，弹簧弹力最大。此时F回=Fmax-mg=mg，当木块运动到最高点时，弹簧弹力最小，此时F回=mg-Fmin=mg，由此可知此时弹簧仍处于压缩状态，对M的弹力最小为mg 。物体在下降过程中不会离开弹簧，只有在上升过程中才会。要使物体在振动中不离开弹簧，必须使其振动到最高点时，速度为零。物体在最高点时F=0，回复力为mg=kA'，所以振幅A'=，又kA'=mg，所以A'=2A。

　　通过对以上三道题的分析，我们深刻感受到“简谐运动的物体在两最大位移处其回复力大小皆等于KA”这一结论在解决简谐运动物体受力分析问题中，既可以避开繁杂的解题过程、节省解题时间，又可以提高解题的正确率。可利用这一结论来解决的题目还很多。然而，我们不可能，也没有必要一一举例说明，关键是我们要领会这类题目的特点及掌握解题要领。本人多次接触这类题目后发现，一般此类题目中的研究对象是在竖直方向上做简谐运动，且要求解当此对象在最大位移处时，相关物体的受力情况。显然，我们要用好这一结论解题时，必须做好几个步骤：

　　1.确定研究对象；

　　2.明确研究对象在两个最大位移处的受力情况（受力分析）；

　　3.利用“简谐运动的物体在两最大位移处其回复力大小皆等于KA”列出等式；

　　4.求出题中待求物理量。

　　总之，在平时教学过程中，我们应该对学生得分率较低的题目多进行分析，多总结一些较好的解题方法。针对每年高考理科综合考试中多数学生来不及完成所有题目解答的问题，我们平时就更有必要引导学生去掌握一种较不容易出错又节省时间的解题方法。这决非投机取巧，而是让学生在这种能力培养的过程中，感觉采用简洁的方法解题是一种享受，既提高了学生学习效率，又提高了学生学习兴趣。

 

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