摘要：根据人口增长问题与产业集群增长问题的相似性，利用人口增长的Malthus模型和Logistic模型来描述经济生活中的产业集群规模问题，并在Logistic模型的基础上进行了改进，使之更加符合实际情况，最后还讨论了企业进入/退出集群的决策问题。
　　关键词：产业集群；Malthus模型；Logistic模型；模型改进；效用函数
　　中图分类号：F2文献标识码：A文章编号：16723198（2013）22000702
　　1问题提出
　　按照迈克尔·波特的定义：产业集群是一组在地理上靠近的相互联系的公司和关联的机构，它们同处在一个特定的产业领域，由于具有共性和互补性而联系在一起。这与人口问题一样，产业集群也是一个动态的不断演变的复杂系统。在这个复杂的系统中，微观企业之间开展相互合作和竞争，从而推动着产业集群的不断演化。当这些关系处于稳定状态，就能使相关企业在一定时间内空间聚集，并形成一定的产出规模，在外界环境相对稳定的条件下，整个集群能稳定、协调地发展。当外部环境发生变化时，微观企业间的关系就会发生变化，产业集群就会随之演化。由于产业集群类似于人口问题，因而可以用人口增长模型来分析产业集群的规模问题。
　　2模型简介
　　关于人口问题的模型的研究，并不是现在才开始的，早在18世纪末，英国经济学家Malthus在研究了百余年的人口统计资料后建立了第一个人口指数增长模型即Malthus模型。其后经过不断努力，现已有了一些更为精细的数学模型，尤其是人口的预测模型和控制模型为人口政策的制定提供了重要的科学依据。我们这里主要介绍Malthus模型和Logistic模型。
　　2.1Malthus模型
　　设时刻t的人口总数为N（t），人口的净增长率为r，根据Malthus的理论，在人口的自然增长过程中，r为常数，即单位时间内人口增加量与人口的总数成正比。于是得Malthus人口模型：
　　dN1dt=rN
　　N（t0）=N0（1）
　　其解为：N（t）=N0er（t-t0）（2）
　　如果r>0，则（2）式表明人口总数将以指数形式增长。在资源丰富、人口比较稀少时结果和实际的人口统计数据也比较吻合，用Malthus模型进行短期人口预测还是比较准确的。但该模型用于长期预测是不合适的，因为当r>0，t→+∞时N（t）→+∞，这一结论不符合人口实际情况。主要因为当人口数量达到一定程度时，由于受到土地、资源的限制，会出现食物短缺、资源紧张、环境恶化并伴随战争和传染病的威胁。这些因素对人口增长产生了阻滞作用，此时人口增长率会随人口增加而减小，因此Malthus模型中人口净增长率为常数的假设必须进行一定的修改。
　　2.2Logistic模型
　　为了克服Malthus模型假设的缺陷，荷兰生物学家Verhulst引入常数Nm表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，并假定净相对增长率为r（1-N1Nm），即净相对增长率随N增加而减小，此时r称为内在增长率，即不受资源和环境限制的人口增长率。当N（t）→Nm时，净相对增长率趋于0，于是得到了人口的阻滞增长模型--Logistic模型：
　　dN1dt=rN（1-N1Nm）
　　N（t0）=N0（3）
　　其解为：N（t）=Nm11+（Nm1N0-1）e-r（t-t0）（4）
　　从以上结果可以看出：
　　（1）当t→+∞时N→Nm，即无论人口初值如何，人口总数趋向于极限值Nm。
　　（2）当0<N00，dN1dt为增函数；当d2N1dt2<0，dN1dt为减函数；当N=Nm12，dN1dt达到最大值，即此时人口增长最快。
　　Malthus模型和Logistic模型不仅适用于人口问题，在产业集群规模问题上也是适用的。
　　3模型建立
　　（1）在产业集群刚形成时，产业集群中的企业增长情况与人口增长模型中的Malthus模型是很类似的，都是按照指数快速增长，因而可以利用Malthus模型来研究初始时刻的产业集群的规模问题。
　　设初始时刻t0=0时产业园内企业数目为N0，企业的净增长率r为常数，则产业园新成立短时间内企业规模：
　　dN1dt=rN
　　N（t0）=N0（5）
　　其解为：N（t）=N0ert（6）
　　（2）在受到外界因素影响时，产业集群中的企业增长情况与人口增长模型中的Logistic模型也是很类似的，企业集群受到环境、资源等影响也不可能无限增长，因而也可以用阻滞增长模型来研究产业集群的规模问题。
　　设常数Nm表示产业园受到环境、资源等因素的影响所能承受的最大企业数，并假定净相对增长率为r（1-N1Nm），则产业园长时间内企业规模：
　　dN1dt=rN（1-N1Nm）
　　N（t0）=N0（7）
　　其解为：N（t）=Nm11+（Nm1N0-1）e-r（t-t0）（8）
　　（3）以上两个模型都是在自然状态下建立的数学模型，未考虑人为因素的影响。而在产业园区内都有相应的政策等因素会影响产业集群的规模，所以可以在模型（7）上的基础上适当添加参量来体现认为因素的影响，使之更符合实际。改进模型如下：
　　dN1dt=rN[1-（N1Nm）α]·β
　　N（t0）=N0（9）
　　其中，参量α表示自然资源与企业数目之间的非线性关系，即当α>1时，政府对产业园的科学管理使资源环境的利用率提高；当0<α<1时，政府对产业园的不科学管理将会造成浪费资源环境。参量β体现了产业园环境的持续改善或恶化对产业集群规模的影响，显然当β<0表示集群规模在衰退。

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