2 基于LQR和PID的控制器设计

　　2.1 两轮机器人可控范围分析

　　由模型分析可知此机器人系统是可控的，但由于模型是在平衡点附近进行的线性化，角度为，而实际机器人倾斜角度比此值大得多，并且使用的倾角仪线性测量范围为。通过物理实验得：机器人倾斜的角度时，给电机最大控制量指令情况下，机器人实体完全可以控制。因此，设计的两轮机器人其平衡控制范围定为，远大于线性化时约束条件。本文所研究的LQR和PID复合控制器的控制算法很有研究意义[3]。

　　2.2 控制器设计

　　2.2.1 LQR控制器

　　对上面所描述的机器人模型，给定对于状态和控制的二次型性能指标函数定义为：

　　，

　　其中，权值矩阵和均为对称正定常值矩阵。其系统控制方法为找到最佳控制向量矩阵K，得到最佳控制量。这里选取Q=[100 0 0 0；0 100 0 0；0 0 100 0；0 0 0 100]，R=1。利用Matlab命令LQR（A，B，Q，R），得到系统反馈增益：

　　当给定初始俯仰倾角分别为和，其他状态量给零时，其零输入相应仿真曲线如图1和图2。

　　比较可知，初始角度相差很大的情况下，对于理论仿真来说，其变化情况并不大。但是在实际物理系统调试中，情况却不同。当倾斜角度增大时，其线性化过程中产生的误差也相应的增大，将会出现所设计的控制器就根本无法是机器人达到动态平衡的情况，而且对于LQR控制器的设计，模型的精确程度及物理系统参数准确性都要求相对严格。

　　2.2.2 PID控制器

　　对于经典PID控制，它是工业控制中的主要技术之一。在两轮机器人控制上，其主要优点是结构简单在控制器上易于实现，并且适应性强，不依赖于其线性化模型，兼顾了一定的鲁棒性。但由于经典的PID调节器为实现无差调节而引入积分作用后，不可避免地使系统的调节过程发生超调。适度的超调对于提高系统的快速性是有利的，但在机器人实体控制过程中，这样的超调也会使系统发生振荡，静态性能指标较差。如图所示，阶跃相应仿真曲线见图3。

　　2.2.3 LQR与PID复合控制器设计

　　以上分析了LQR与PID控制器在两轮机器人控制中的优缺点，对于两轮机器人来说，由于其非线性和不确定性，使用任何其中一种控制器进行控制都不能达到理想的效果。为了得到更快的控制速度和更好的动态平衡效果，根据两控制器各自的特点，本文设计了复合控制器：分别采用一个控制因子来限制两个控制器的输出，再将两控制量进行叠加。

　　假设两控制器输出分别为U1和U2，控制因子为K1和K2。考虑到，当倾斜角≤时，机器人接进平衡状态，系统状态方程的线性化误差较小，此时采用LQR控制效果较好，不需采用PID控制方法。当倾斜角≤≤时，机器人开始偏离平衡点附近，模型线性化会产生一定误差，控制器参数也存在误差，仅靠LQR控制已不能完全满足要求平衡控制要求，此时引入PID控制，使其各发挥一定的功能。当倾斜角≤≤时，机器人已经偏离平衡点很远，线性化的模型有较大的误差，其LQR控制器参数已不符合实际控制要求，此时只调用PID控制算法，使车体倾斜角度回到小于范围[4]。

　　3 两轮机器人实物控制效果

　　实验用的两轮机器使用的控制器为TI公司的DSP2812[5]，在CCS软件开发环境中编程。首先对DSP各个单元模块进行初始化，配置相应端口并开中断。等待中断，中断程序里对传感器进行采样，通过计算得到机器人的姿态和速度。调用控制算法，对机器人进行平衡控制，并将传感器数据传送到上位机。通过实验得到数据，绘制曲线。

　　实验总结：利用LQR与PID复合控制器控制算法可以使机器人获得很好的平衡效果，并且有较好的抗扰动效果，能较快的恢复动态平衡状态，有一定的鲁棒性。对于PID控制器，虽然能控制机器人平衡，但机器人在平衡处的振动较大，静态性能较差。而线性控制器LQR，在小角度范围有不错的控制效果，但对于较大扰动，角度超出线性化约束角度条件时，此控制算法已不能控制机器人的平衡。

　　4 结语

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