众所周知，数学是物理学习的工具。没有数学能力做支撑，物理的学习就像无本之木、无源之水，物理的深入学习将十分有限。应用数学知识解决物理问题的能力是学生必须掌握的能力之一，也是高考考试说明中要求的五种能力之一。而应用数学知识解决物理问题的能力是一个系统的工程，绝非一朝一夕能养成。而在高三复习中，挖掘高考试题中的数学元素，却不失为一种有效的训练手段。本文从五道物理试题数学元素的分析，提取了“不等式的性质系、幂的性质、对数的性质、解析几何、均值不等式、平面几何圆的知识及函数思想”等数学知识在解决物理问题中的应用，充分彰显了数学的工具功能。

　　一、不等式的性质在物理判断题中的应用

　　【例1】（2013·广东卷，20，双选）如图1，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平。现把物体Q轻轻地叠放在P上，则：（）

　　A.P向下滑动

　　B.P静止不动

　　C.P所受的合外力增大

　　D.P与斜面间的静摩擦力增大

　　分析：此题以共点力的平衡为载体考察了动摩擦因数和斜面倾角的关系对物体运动状态的判断。物体静止于固定的斜面上，则mgsin=f≤fm=mgcos。现把物体Q轻轻地叠放在P上，斜劈是仍然保持静止，还是会沿斜面加速下滑？取决于重力沿斜面向下的分力（m+m′）gsin与最大静摩擦力fm=（m+m′）gcos大小关系。现推导如下：

　　如果学生平时没有形成如下结论：将物体由静止放置在倾角为的斜面上，若≥tan，物体将静止在斜面上；若答案：BD

　　二、幂的性质、对数的性质与物理规律的图像表述

　　【例2】（2010·课标全国，20，6分）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象.图中坐标系的横轴是lg（T/T0），纵轴是lg（R/R0）；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是（）

　　分析：由开普勒第三定律，得=；变形，得=；由幂的性质，得（）=（）两边取对数，得lg（）=lg（）；由对数的性质，得3lg（）=21g（），最终得到lg（）=lg（）为正比例函数图像，比例系数为，故B答案正确。考生从开普勒第三定律到推导出lg（）与1g（）的函数关系lg（）=1g（），除了要具备一定的直觉思维外，还要具备熟练的数学技能如幂的性质、对数的性质，才能快速作答。而这靠考场上临场发挥是很难做到的，需要平时有意识的训练。

　　三、均值不等式与解析几何抛物线的知识

　　【例3】（2012·大纲全国卷，26）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图3所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=x2，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。

　　（1）求此人落到坡面时的动能；

　　（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

　　分析：设该运动员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的坐标为（x，y）依题意，得y=x2①

　　由平抛运动的规律，得x=v0t②

　　2h-y=gt2③

　　对人做平抛运动过程，由动能定理，得：

　　mg（2h-y）=Ek-mv02④

　　联立①②③④解得Ek=m（v02+）⑤

　　（2）由⑤式得Ek=m[（v02+gh）+-gh]

　　≥m·[2-gh]=mgh

　　当且仅当v02+gh=即v0=时取“=”

　　故此人跳出的速度为v0=时，他落在斜坡时的动能最小，最小值为mgh此题不是难在物理，而是难在数学，障碍有：（1）位置的坐标表示，落在斜坡上点的坐标满足抛物线方程；（2）应用均值不等式求最值和取最值的条件。如果考生不具备良好的数学素养，在考场是很难做出的，是一道数学味道很浓的物理高考题。

　　四、尺规作图与平面几何圆的知识

　　【例4】（2013·新课标全国卷Ⅰ，18）如图4，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q（q>0）、质量为的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为。已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）

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