摘要：为帮助初中学生有效地解决涉及“已知三角形顶点坐标，求其面积”的各种问题，构建解决此类问题的如下求法模型及其解题策略：奠基法、割补法、铅垂高法、矩形框法、梯形框法、坐标公式法等，以求提高此类问题的教学效益.

　　关键词：直角坐标系；三角形面积；求法模型；解题策略

　　近年各地中考试题经常出现“已知三角形三个顶点坐标求三角形面积”这样的问题，让很多学生颇感棘手.2011年《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》初中学段不要求学生掌握“两点间距离公式”、“点到直线的距离公式”等知识，故初中生难求斜线段长及三角形高，因而难求坐标系中三角形面积，故很有必要构建“新课标下解决这类问题常见求法模型”。本文例谈这类问题的几种求法模型：奠基法、割补法、铅垂高法、矩形框法、梯形框法、坐标公式法等，希望有助于提高这类问题教与学的效率.

　　一、“核心知识模型”（数轴上两点距离的坐标公式）：与x轴（或y轴）平行（或重合）的线段上的点纵坐标（或横坐标）相同，故该线段的长度等于线段两个端点的横坐标（或纵坐标）的差的绝对值.

　　模型1（奠基法）：当三角形的一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，往往可以把可求长的这一边作为底边，把另一顶点到这一边的垂线段作为高，易求其面积.

　　例1.在ΔABC中，A（2，1），B（2，5），C（-3，2），求ΔABC的面积.

　　分析：∵A（2，1），B（2，5），∴AB=|yA-yB|=|1-5|=4（即A、B的铅垂距离）.

　　∵A（2，1），C（-1，2），∴AB边上的高=|xC-xA|=|-3-2|=5（即A、C的水平距离），

　　∴ΔABC的面积=×4×5=10（即S= ·铅垂底·水平高）.

　　例2. 求直线y1=2x-4和y2=5-x及x轴围成的三角形的面积S.

　　解：联立 ，解得 ，∴C（5，0），

　　联立 ，解得 ，∴B（2，0），∴BC=|5-2|=3，

　　联立 ，解得 ，∴A（3，2），∴S= ×BC×|yA|=×3×2=3.

　　二、常见解题模型汇总：因初中阶段不要求掌握“两点间距离公式”、“点到直线的距离公式”等知识，对于初中学生来说，不在坐标轴上且都不平行坐标轴的斜线段长及三角形高难求，“三条边都不在坐标轴上且都不平行坐标轴”的三角形面积应转换为以上“关键知识模型”及奠基法方可求之.一般应先通过构造特殊图形或方法来解决问题，还有以下六种常见的其他解题模型可供选择使用.

　　1.模型2（割补法）：可使用“割补法”将问题转化为上述的“核心知识模型” 及奠基法，即将所求三角形的面积转化为几个三角形面积的和或差.

　　例3.求直线y1=2x-4、y2=5-x及y3=x-2围成的三角形的面积S.

　　解：类同例2方法易求：A（3，2），B（，-），C（5，0），D（0，5），E（0，-2），F（0，-4），G（2，0），

　　∴DE=|5-（-2）|=7，DF=|5-（-4）|=9，EF=|（-2）-（-4）|=2，∴使用割补法1：SΔABC=SΔDEC-S四边形ABED=SΔDEC-（SΔADF-SΔEFB）=×DE×|xC|-（×DF×|xA|-×EF×|xB|）=×7×5-（×9×3-×2×）=，或者，使用割补法2：SΔABC=SΔAGC+SΔBGC= ×GC×|yA|+ ×GC×|yB|=.

　　2.模型3（铅垂高法）：可使用“作铅垂高法”（也称“正投影法”）将问题转化为上述的“核心知识模型” 及奠基法：分别过三角形的三个顶点向x轴（或y轴）作三条垂线段，将所求三角形面积转化为几个梯形面积的和（或差）.

　　例4. 在ΔABC中， A（2，2），B（7，3），C（4，5），求ΔABC的面积S.

　　解法1：分别过A、B、C作AD⊥OX于D，BE⊥OX于E，CF⊥OX于F，则AD=2，CF=5，BE=3，DF=2，DE=5，EF=3，∴S=S梯形ADFC+S梯形FCBE-S梯形ADEB=×（2+5）×2+×（5+3）×3-×（2+3）×5=.

　　解法2：在ΔABC的形外过C作DE‖OX，分别过A、B作AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，则AD=5-2=3，BE=5-3=2，DE=7-2=5，DC=4-2=2，CE=7-4=3，S=S梯形ABED-SΔADC-SΔBCE=×（3+2）×5-×3×2-×2×3=.

　　解法3（解法1的变式）：分别过C、A、B作CD⊥OX，AG⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、G、F，则AG+BF=7-2=5.AB的解析式为：= ，即y=x+，令x=4，则y=，∴E（4，），∴CE=5-=，∴S=SΔAEC+SΔBEC= ·CE·（AE+BF）=××5= .

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