3.模型4（水平宽铅垂高法）：（以上“铅垂高法”的改良方法）

　　2009年益阳中考题：分别过⊿ABC顶点A、B、C作x轴（水平线）的三条铅垂线.左右最外侧两点B、C的水平距离称为“水平宽a”（B、C所在的两铅垂线间的水平距离）；中间的铅垂线交⊿ABC一边于D，则第三点A和D的距离AD称为“铅垂高h”，如图所示.

　　此时，⊿ABC的面积公式为：S⊿ABC= 水平宽a×铅垂高h。

　　请依据上述知识解决下题：

　　抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），与x轴交于A（3，0），P为抛物线上第一象限内的一动点，如图所示.

　　（1）求此抛物线解析式.

　　（2）此抛物线与y轴交于点B，求AB的解析式.

　　（3）在（2）条件下，设抛物线对称轴分别与AB、x轴交于点D、M，连结PA、PB，当P运动至点C时，求⊿ABC的铅垂高CD及面积S⊿ABC.

　　（4）在（2）条件下，设点P的横坐标是x，⊿PAB的铅垂高是h，面积是S，请分别写出h和S关于x的函数关系式.

　　解：（1）∵抛物线的顶点为C（1，4），∴设y1=a（x-1）2+4，∵抛物线过A（3，0），∴0=a（3-1）2+4，∴a=-1，∴y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3.

　　（2）令y1=0=-（x-1）2+4，∴B（0，3）；设AB：y2=kx+b，将A（3，0）、B（0，3）代入得k=-1，b=3，∴y2=-x+3，

　　（3）令x=1，∴y1=4，y2=2，∴CD=4-2=2，∴S⊿ABC=×（3-0）×2=3.

　　（4）h=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，∴S=×3（-x2+3x）=-x2+x.

　　4.模型5（矩形框法）：使用“矩形框法”将问题转化为上述的“核心知识模型” 及奠基法：分别过三角形的三个顶点，在三角形外作两坐标轴的四条平行线，这四条平行线围成一个矩形（即用最小的矩形“框围”三角形），再将所求三角形的面积转化为：该矩形减去三个小三角形面积.于是，例4便有以下的解法4.

　　解法4：如图，在ΔABC的形外分别过A、B、C作AD‖OY、AF‖OX、EF‖OY、DE‖OX，交点分别为D、E、F.

　　S=S矩形ADEF-SΔADC-SΔCEB-SΔBAF，=（7-2）（5-2）-（5-2）（4-2）- （5-3）（7-4）-（3-2）（7-2）=.

　　5.模型6（梯形框法）：上述“矩形框法”常简化为“梯形框法”（梯形ACEF）.

　　解法5：如上图，S=S梯形ACEF-SΔBCE-SΔABF=[（7-4）+（7-2）][（5-3）+（3-2）]-（5-3）（7-4）-（3-2）（7-2）=.

　　6.模型7（坐标公式法）：若ΔABC的三顶点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），则SΔABC= |x1y2+x2y3+x3y1-y1x2-y2x3-y3x1|，备注：利用模型4、5或6均可证明上述面积 公式.

　　于是，例4便有以下的解法6.（其中A（2，2），B（7，3），C（4，5）），

　　解法6.SΔABC=|x1y2+x2y3+x3y1-y1x2-y2x3-y3x1|

　　=|2×3+7×5+4×2-2×7-3×4-5×2|=.

　　三、中考综合应用举例：

　　例5.（2012年泉州质检）抛物线y= x2-4x+k与x轴交于A、B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C（0，6），动点P在该抛物线上.

　　（1）求k的值；

　　（2）当ΔPOC是以OC为底边的等腰三角形时，求P点的坐标；

　　（3）如图，当P在直线BC下方时，记ΔPOC的面积为S1，ΔPBC的面积为S2，试问S2-S1是否存在最大值？若存在请求该值；若不存在请说明理由.

　　分析：（1）k=6；（2）令yp=3=x2-4x+6，解得xp=4±；

　　（3）易求A（2，0），B（6，0）、C（0，6），采用“参数法”设动点P（m， m2-4m+6）.

　　按本文所述具体分析，至少有以下八种解法.

　　①奠基法：求直线PC、PB的解析式，因含有参数，显然较繁.

　　②割补法：应再分两种情况，

　　P在x轴上方（2≤m<6）时S2-S1=S四边形OPBC-2S1=SΔOBC+SΔOBP-2S1；

　　P在x轴下方（0　　两情况均可再使用“奠基法”列式整理为S2-S1=-m 2+6m=-（m-2）2+6，存在最大值6.

　　③铅垂高法：较佳（无须分情况讨论），过P作PD⊥x轴交BC于D，易求BC：y=-x+6，故F（m，-m+6），“铅垂高”PD=- m2+3m，此时S2-S1=SΔPDC+SΔPDB-S1=…=-（m-2）2+6，故其存在最大值6.

　　④水平宽法：设PC交x轴于E，则S2-S1=SΔBEP+SΔBEC-S1，但求直线PC解析式，再求E点坐标，因含有参数，显然也较繁.

　　⑤矩形框法、⑥梯形框法、 ⑦坐标公式法：均可由四点O、P、B、C的坐标直接列出关系式S2-S1=…=-（m-2）2+6，故其存在最大值6.本法只需仔细列算式并运算即可，也属佳法.

　　⑧使用“点到直线的距离公式”直接求BC边上的高，同属佳法. 0　　（责任编辑：王钦敏）

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