摘 要 针对降低线性代数学习难度的问题，文章提出在学习线性代数过程中灵活构造反例以解决问题的思路。通过文献研究法和经验总结法，讨论线性代数中适合运用反证法研究的定义和定理等问题，结合实例指出如何在学习线性代数过程中合理构造反例以理解和掌握理论本质。分析发现，构造反例可为定义的理解、定理的掌握和命题的正误判断提供简捷的思路，提高学习效率。

　　关键词 线性代数 反例构造 定义 定理

　　中图分类号：O151 文献标识码：A

　　0 引言

　　线性代数以线性空间为研究对象，涉及行列式、矩阵、矩阵的初等变换与线性方程组等，定义、定理、性质、推论等比较多，难度较大。但是学习线性代数具有很大益处，一方面可以进一步提高抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为进一步学习和研究打下坚实的理论基础；另一方面为立志报考研究生的同学提供必要的线性代数理论知识、解题技巧和方法。并且，线性代数作为一种数学建模方法，是科研工作者必须掌握的重要数学方法。

　　由此可见，线性代数的内容抽象性以及应用重要性，要求学习者能够灵活运用数学方法理解线性代数中的问题。当从正面解决线性代数问题比较困难时，构造反例不失为一种良好的方法。构造反例能够帮助学习者正确理解抽象的概念定义和定理内容，促进学习者对线性代数内容的快速掌握和熟练应用，提高学习效率并帮助取得有效的学习成果。通过具体实例探析构造反例在线性代数学习中的运用。

　　1 反例

　　数学中的反例指符合命题条件，而不符合该命题结论的例子。所构造的反例是建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上的、并可指出命题不成立的例子。在学习线性代数过程中，可根据定义、定理以及命题构造反例以帮助理解理论本质，促进取得学习成果。

　　2 构造反例利于掌握定义

　　线性代数中的定义凝练、精确，内涵丰富。真正透彻理解并牢固掌握这些定义，需要学习者把定义本身的简短话语扩展，从多方面思考，提炼定义本质。

　　（1）定义：设是由复数组成的集合，其中包含0和1。如果中的任意两个数（可相同）对加、减、乘、除四种代数运算是封闭的，那么就称为一个数域。

　　此定义可以扩展出多个结论，下面示范如何运用构造反例的方法将易混淆的结论分辨清楚。

　　例1 整数集是数域。

　　此结论不正确。整数集合中取两个数2和7，互相进行除法运算会产生分数，不在此集合内，故整数集不是数域。

　　例2 奇数集是数域

　　此结论不正确。奇数集合中取两个数3和7，两者减法运算的结果4不在奇数集合中，故奇数集不是数域。

　　（2）定义： 给定维向量组， ，…，，若存在一组不全为零的实数， ，…，，使得 + + … + = 0，则称， ，…，线性相关；否则，称线性无关。

　　简短几句话，即定义了这个重要的概念。为加深理解，现通过构造反命题的方法来理解这个定义。

　　例1 若有不全为零的个数， ，…，，使 + + … + + + + … + = 0，则向量组， ，…，线性相关，向量组， ，…，线性相关。

　　此结论不正确。例如取 = （0，1） ， = （1，0）， = （0，-1）， = （-1，0），显然存在，不全为零，使得 + + + = 0。但，线性无关，， 线性无关。

　　例2 如果，，…，线性无关，， ，…，线性无关，则， ，…，， ， ，…，亦线性无关。

　　此结论不正确。例如取 = （0，1） ， = （1，0） ， = （0，-1）， = （-1，0），，线性无关，，线性无关。但取 = = 1，则 + + + = 0，故可得，，，线性相关。

　　例3 设，，…，和，…，是两个维向量组，如果（+ ）+（ + ）+…+（ + ）=0成立必需=0，=0，…，=0，则，，…，和，，…，定线性无关。

　　此结论不正确。例如取 = （0，1） ， = （1，0） ， = （0，2）， = （2，0）， + = （0，3）， + = （3，0），则（ + ） + （ + ） = 0成立必需 = 0， = 0。但2 + 2= 0，故，，，线性相关。

　　上述反例不仅给出对结论的判断，而且加深学习者对数域和线性相关性定义的理解，避免再出现此类认识上的错误。

　　3 构造反例利于理解定理

　　在学习过定义的基础上，掌握相应的定理，才能够更好地解决线性代数中的各种问题。学习者会发现线性代数定理特点显著，存在某些规律不同于其他数学科目定理的现象。因此，只有掌握线性代数定理的本质，才能熟练运用与解题。而运用反例恰有利于我们解决这一问题。

　　（1）定理：在矩阵的乘法中消去律不成立，在矩阵的乘法中消去律不成立，即由AX=AY不能得出矩阵X与矩阵Y相等。

　　自学习数学这门学科以来，接触到的乘法运算都是满足消去律的。学习线性代数后，此处矩阵却不满足消去律。思考后发现，其根本原因是矩阵乘法特殊的运算规则，即前一个矩阵的行与后一个矩阵的列中元素对应相乘。直接理解这一原因比较困难，故运用举反例的方法解决这一问题。

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