例1 若AB=AC，且A≠0，则B=C。

　　此命题不正确。例如取，满足A ≠ 0，，。虽然AB=AC，但是B≠C。

　　例2 A2 = A，则A= 0或A=E。

　　此命题不正确。例如取，则A2 =A，但A ≠ 0且A ≠ E。同理可知，由A（XY） = 0，不能得出X =Y的结论。

　　看到这样简单的反例，以上易犯的错误被一举击破，学习者一目了然，有效避免惯常错误。同时，也激发学习者继续思考矩阵运算中消去律成立的条件。进而研究得出使AB=AC B=C的条件是A是可逆的。这样的思考可增加学习者对问题研究的深度和广度，训练学习者的主动思考能力，也增添了学习的趣味。

　　（2）定理：向量组， ，…，（m≥2） 线性相关的充要条件是组内某一向量可由其余向量线性表示。例：如果向量组，，…，中某一向量不能被其余向量线性表示，则，，…，线性无关。

　　此结论不正确。取 = （0，0），= （0，1），即有不能被其余向量线性表示，但，却相关。

　　4 构造反例利于判断命题真伪

　　要证明一个命题为假命题，只要构造一个反例来说明命题不成立即可。所以，反例是满足命题题设但不满足命题结论的一个实例，构造反例就是证明某个命题是假命题的一种方法。所构造的反例要求简单、明确、有说服力，从而才能快速准确判断命题真伪。

　　（1）命题：若AB = 0，则A和B中必有一个为零矩阵。

　　此命题不正确的。例如取，，满足AB = 0 ，但A和B均不是零矩阵。

　　（2）命题1：零阵的特征值为0，则特征值为0的矩阵都是零阵。

　　此命题不正确。例如的特征值为0，但是不是零矩阵。

　　命题2：单位阵的特征值为1，则特征值为1的矩阵都是单位阵。

　　此命题不正确。例如的特征值为1，但不是单位阵。

　　若学习者在学习过程中，能够熟练构造反例，则可节约做题时间，提高学习效率。

　　（3）命题： 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。为此提出以下结论：若矩阵A、B有不同的特征值，则不能对应同一个特征向量。

　　此结论不正确。例如取，，A和B对应的特征值是1和2 ，但它们有同样的特征向量 （1，0）。这个反例直接给出了矩阵中特征值和特征向量的关系，即某一特征向量可对应两个矩阵的两个不同的特征值，也明确了原命题中是一个矩阵的某一特征向量只对应一个特征值。

　　（4）命题：等价向量组的秩是相等的。为此提出以下结论：如果，，…，和，，…，的秩相等，则两个向量一定等价。

　　此结论不正确。例如取Ⅰ：=（1，0，0，0），=（0，1，0，0），Ⅱ：=（0，0，1，0），=（0，0，1，1），其中向量组Ⅰ的秩是2，向量组Ⅱ的秩是2，但是Ⅰ与Ⅱ不等价。此反例直接指出原命题的逆命题不成立，无需繁琐文字证明。

　　（5）命题：含有个未知数个方程的线性方程组

　　有解的必要条件是行列式

　　，但不是充分条件。

　　此命题正确。例如方程组，虽然行列式，但是此方程组无解。此时，这一反例恰当地强调了命题中的“必要条件”，加深学生理解与记忆，以免判断此类方程组是否有解时再出现错误。

　　以上几个例子说明反例对抽象的线性代数理论中的命题结论给了必要的补充和完善，有利于学习者理解定理的本质，达到灵活运用定理以辅助解题的目的。

　　5 结论

　　综上所述，构造反例是一个快速而无规则的探索性过程，对学习者有不可估量的裨益，适用于各个章节的理论当中，在线性代数中的地位是不容忽视的。论文网站一方面，构造反例有利于学习者准确理解定义和定理，提高学习效率，促进养成发现问题、纠正错误和解决问题的学习习惯。另一方面，构造反例有利于培养从多方面、多角度认识问题和解决问题的习惯，增强思维敏捷性和思维判断力。作为21世纪的大学生，应当积极培养自主学习能力和独立思考能力，尤其培养创造性思考能力。要达到培养这些能力的目的，应当重视构造反例这一重要途径。因此，在学习线性代数的过程中，应当合理构造反例，以激发兴趣、提高效率和广开思路。

　　参考文献

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　　[2] 孙兵.线性代数教学中的反例构造[J].数学理论与应用，2011.2：39-40.

　　[3] 巨泽旺，薛有奎.反例及反证法在线性代数中的作用[J].数学学习与研究，2011.17：50-51.

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　　[5] 陈秀红.反例及反证法在线性代数中的作用[J].昭乌达蒙族师专学报，2003.2：9-10.

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