非线性屈曲分析则可以考虑结构的初始缺陷以及材料非线性、几何非线性，并得到结构屈曲过程的位移-荷载曲线。非线性屈曲理论是在结构加载过程中，在不断变化的结构位形上建立平衡方程的，其平衡方程为

　　。

　　称为初位移矩阵或者大位移矩阵[3]，表

　　示位置的变动对结构刚度矩阵的影响。非线性平衡方程有很多种解法，较普遍的是牛顿——拉普森迭代法。由于跳跃失稳在极值点会出现刚度矩阵奇异，以及刚度和载荷都可能减少的情况，导致一般的迭代方法无法得到收敛解，必须采用有效的方法越过极值点，比较成功的有弧长法。商用软件ABAQUS使用了改进的弧长法求解非线性平衡方程。改进弧长法的基本迭代思想如图 1（λ：载荷；σ：位移）所示，在A0点根据前一步的收敛情况由程序给出一个载荷增量，根据初始切线刚度得到 A1点，然后在A1点作一法线垂直于初始刚度切线，进行迭代，在该法线上寻找平衡点。它的最大特点是载荷和位移增量都可以是负值，能有效地越过极值点，计算分析前后屈曲的全过程。

　　2 钢制车轮的线性屈曲分析

　　针对商用汽车钢制车轮的具体情况，本文在ABAQUS软件中建立22.5×9型6 mm等厚轮辋钢制车轮的有限元模型。首先对车轮进行线性屈曲分析，固定轮辐定位孔的内表面，轮辐和轮辋间的接触面为绑定约束，即接触面间没有相对运动。车轮所受的载荷为施加在轮辋外表面的压力载荷，载荷施加区域如图2所示，为胎圈座及其以内轮辋外表面。

　　线性屈曲分析过程中轮辋与轮辐的材料均简化为线弹性材料，轮辋弹性模量为201 GPa，泊松比为0.3；轮辐的弹性模量为206 GPa，泊松比为0.3。本文只对车轮前3阶线性屈曲模态进行计算，屈曲模态如图3所示，相应的临界载荷见表1，第1阶屈曲模态最大位移为1.048 mm。

　　3 钢制车轮的非线性屈曲分析

　　在对该钢制车轮进行特征值屈曲分析后，获得其屈曲模态以及线性屈曲载荷，在此基础上进一步对其进行非线性屈曲分析。在该过程中，考虑车轮材料非线性的影响，即材料屈服后的硬化特性，对该型车轮钢进行材料试验，获得该钢制车轮轮辋和轮辐材料屈服后的应力与塑性应变之间的关系，如图4所示。

　　初始施加的载荷和边界条件与特征值屈曲分析时相同。由于车轮在加工成形后，轮辋不可能是正圆的形状，故为模型提供一个初始缺陷，使模型变成如图3第1阶屈曲模态的椭圆形状（极其接近正圆）。测试时发现该钢制车轮径跳为1.2 mm，而第1阶屈曲模态最大位移为1.048 mm，故以第1阶屈曲模态为基准，将缺陷因子设为1.2，为模型添加初始缺陷（缺陷因子与最大位移的乘积对应于车轮的径跳）。设置输出第1阶屈曲模态位移最大点的位移变化历程，在结果中即可得到载荷随该点位移的变化情况，如图5所示。

　　当载荷达到5.67 MPa，位移随载荷减小而增大，车轮发生压溃，故认为车轮受压力屈曲的临界载荷为5.67 MPa，与线性屈曲模态屈曲分析所得临界载荷相差较大。引入材料的非线性使结构在屈服后的承载能力下降，引入初始缺陷使结构更容易失稳，这两个因素导致非线性屈曲分析临界载荷下降较大。

　　4 轮辋受压屈曲临界载荷的影响因素分析

　　4.1 缺陷因子对屈曲临界载荷的影响

　　加工精度的提高能使车轮加工成形后的径跳减少，有限元仿真中缺陷因子的选取反映了径跳的大小，在此研究缺陷因子对车轮屈曲载荷大小的影响。选择6 mm等厚轮辋车轮，进行线性屈曲模态分析后，以第1阶屈曲模态为基准，分别选择缺陷因子0.3、0.65、1.2、2为模型添加初始缺陷进行非线性屈曲分析，得到载荷随位移的变化情况以及临界载荷。图6为不同缺陷因子对应的载荷-位移关系图，图7为车轮屈曲临界载荷随缺陷因子的变化曲线。

　　由图6和图7可知，随着缺陷因子的增大，车轮受压力的屈曲临界载荷线性减小，缺陷因子从0.3增加到2，屈曲临界载荷下降9.7%。

　　4.2 轮辋厚度对屈曲临界载荷的影响

　　因板材厚度的非均匀性以及制造等原因，实际的轮辋厚度无法保证一致，特别是在一些圆角处轮辋厚度往往小于设计尺寸，如该型车轮轮辋的设计厚度为6 mm，其实测厚度变化情况如图8所示。在此研究轮辋厚度变化对车轮屈曲载荷大小的影响。在有限元模型中分别采用6.75 mm等厚轮辋和6 mm等厚轮辋，按图8所示的实测轮辋厚度变化情况，计算车轮的线性屈曲模态，并以第1阶屈曲模态为基准，将缺陷因子设为1.2，为模型添加初始缺陷进行非线性屈曲分析，得到载荷随位移的变化情况以及临界载荷。图9为不同厚度轮辋下该型车轮载荷-位移关系图，表2为不同轮辋厚度时车轮在压力下的屈曲临界载荷。

　　由图9及表2可知，轮辋厚度增大，将提高车轮在压力下的屈曲临界载荷，提高车轮的稳定性。但是由于加工原因导致轮辋尺寸在部分区域的减薄会引起其临界载荷略有降低，但影响并不大，如该车轮的屈曲临界载荷由5.67 MPa降为5.48 MPa，约为3.4%。

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